\documentclass{jarticle}
\title{ITPASS数値計算実習課題その１}
\author{大西響子}
\date{\today}

\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{12pt}
\maketitle


\section{慣性系において、中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式}

中心星と惑星の運動方程式はそれぞれ、
\begin{eqnarray}
m_{1}\frac{d^{2}{\bf r_{1}}}{dt^{2}}&=&-\frac{Gm_{1}m_{2}}{\left|{\bf r_{1}}-{\bf r_{2}}\right|^{3}}\left( {\bf r_{1}}-{\bf r_{2}} \right)
\\
m_{2}\frac{d^{2}{\bf r_{2}}}{dt^{2}}&=&-\frac{Gm_{2}m_{1}}{\left|{\bf r_{2}}-{\bf r_{1}}\right|^{3}}\left( {\bf r_{2}}-{\bf r_{1}} \right)
\end{eqnarray}
となる。\\

これから２つの式を整理していく。\\

(１)式は両辺$ m_{1} $で割り、(２)式は両辺$ m_{2} $で割って、

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}{\bf r_{1}}}{dt^{2}}&=&-\frac{Gm_{2}}{\left|{\bf r_{1}}-{\bf r_{2}}\right|^{3}}\left( {\bf r_{1}}-{\bf r_{2}} \right)
\\
\frac{d^{2}{\bf r_{2}}}{dt^{2}}&=&-\frac{Gm_{1}}{\left|{\bf r_{2}}-{\bf r_{1}}\right|^{3}}\left( {\bf r_{2}}-{\bf r_{1}} \right)
\end{eqnarray}

と書ける。
ここで、(４)式－(３)式を計算し、相対ベクトル$　{\bf r}=\left( {\bf r_{2}}-{\bf r_{1}} \right) $を導入すると、

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}({\bf r_{2}}-{\bf r_{1}})&=&-\frac{G}{\left|{\bf r_{2}}-{\bf r_{1}}\right|^{3}}\left( m_{1}+m_{2} \right)\left({\bf r_{2}}-{\bf r_{1}} \right)
\\
\frac{d^{2}{\bf r}}{dt^{2}}&=&-\frac{G\left( m_{1}+m_{2} \right)}{\left|{\bf r}\right|^{3}}{\bf r}
\end{eqnarray}
これで、問題文の式が導けた。\\
この式で表される運動は、中心星の系から惑星の相対的な運動を見たときの記述である。\\
惑星の相対的な加速度が中心星との距離の二乗に反比例し、
さらに加速度は惑星から中心星の方を指す向きを持つので、
この運動は原点(中心星)を中心とした円運動をしていると考えられる。\\

\section{運動方程式を成分に分ける}
問題文の定義に従うと、\\
\begin{eqnarray}
\frac{dv_{x}}{dt}&=&\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\
\frac{dv_{y}}{dt}&=&\frac{d^{2}y}{dt^{2}}
\end{eqnarray}
と書ける。
ここで、\\
\begin{eqnarray}
{\bf a} \equiv (a_{x},a_{y})=(\frac{dv_{x}}{dt},\frac{dv_{ｙ}}{dt})=(\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\frac{d^{2}y}{dt^{2}})
\end{eqnarray}
と定義できる。これは１の(６)式をxy成分に分けたものなので、\\
\begin{eqnarray}
{\bf a}=\frac{d^{2}{\bf r}}{dt^2}=-\frac{G\left( m_{1}+m_{2} \right)}{\left|{\bf r}\right|^{3}}{\bf r}
\end{eqnarray}
となる。だから
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}&=&-\frac{G\left(m_{1}+m_{2}\right)}{\sqrt{\mathstrut x^{2}+y^{2} } ^{3}}x\\
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}&=&-\frac{G\left(m_{1}+m_{2}\right)}{\sqrt{\mathstrut x^{2}+y^{2} } ^{3}}y
\end{eqnarray}
と表せる。
\end{document}