\documentclass[10pt]{jarticle}

\title{ITPASS実習　レポート2}
\author{joho14:赤松紀美}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{ }
中心星の質量が$m_1$、惑星の質量が$m_2$。
\\
中心星に働く力を$\mathbf{F_{12}}$、惑星に働く力を$\mathbf{F_{21}}$とすると
\\
中心星における運動方程式は
\begin{equation}
\mathbf{F_{12}}=m_1a=m_1\frac{d^2\mathbf{r_1}}{dt^2}
\end{equation}
惑星における運動方程式は
\begin{equation}
\mathbf{F_{21}}=m_2a=m_2\frac{d^2\mathbf{r_2}}{dt^2}
\end{equation}
となる。
\\
\\
\\
また、中心星に働く力は
$$ 
\mathbf{F_{12}}=\frac{Gm_1m_2\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
$$
と書けるので、(1)を代入して
$$
m_1\frac{d^2\mathbf{r_1}}{dt^2}=\frac{Gm_1m_2\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
$$
\begin{equation}
\Leftrightarrow\frac{d^2\mathbf{r_1}}{dt^2}=\frac{Gm_2\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
\end{equation}

同様に、惑星に働く力は
$$
\mathbf{F_{21}}=-\frac{Gm_1m_2\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
$$
と書けるので、(2)を代入して
$$
m_2\frac{d^2\mathbf{r_2}}{dt^2}=-\frac{Gm_1m_2\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
$$
\begin{equation}
\Leftrightarrow\frac{d^2\mathbf{r_2}}{dt^2}=-\frac{Gm_1\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
\end{equation}
\\
\\
(4)-(3)より
$$
\frac{d^2\mathbf{r_2}}{dt^2}-\frac{d^2\mathbf{r_1}}{dt^2}=-\frac{Gm_2\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}-\frac{Gm_1\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
$$

$\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}=\mathbf{r}$より、上の式は
$$
\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}
$$
と書くことが出来る。
\\
\\
\\
ここで、$m_1$と$m_2$における重心の運動方程式を求める。
\\
$m_1$と$m_2$における重心のベクトルは
$$
\mathbf{r_G}=\frac{m_1\mathbf{r_1}+m_2\mathbf{r_2}}{m_1+m_2}
$$
と書けるので、重心の加速度は
$$
\frac{d^2\mathbf{r_G}}{dt^2}=\frac{d^2\mathbf{r_1}}{dt^2}\frac{m_1}{m_1+m_2}+\frac{d^2\mathbf{r_2}}{dt^2}\frac{m_2}{m_1+m_2}
$$
となり、これに(3)、(4)を代入すると
$$
\frac{d^2\mathbf{r_G}}{dt^2}=\frac{G\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}-\frac{G\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|^3}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}=0
$$
\\
加速度は0となり、重心が等速運動をしていることが分かる。
\\
したがって、二つの物体$m_1$、$m_2$は重心が等速運動するように運動していることが分かる。
\\
\\



\section{ }
$$
\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d^2r}{dt^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
より、1での$\frac{d^2r}{dt^2}$を代入すると
$$
\frac{dv_x}{dt}=-\frac{G(m_1+m_2)x}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}
$$
同様に、
$$
\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2r}{dt^2}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
より、
$$
\frac{dv_y}{dt}=-\frac{G(m_1+m_2)y}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}
$$

\end{document}