\documentclass[a4j,11pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \title{ITPASS数値計算実習課題1} \author{瀧本 香織\\情報実験機 joho08} \date{\today} \begin{document} \maketitle \section{中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式} 運動方程式は、以下の式である。 \begin{equation} M \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = F \end{equation} また、このとき、2天体間に働く力は万有引力のみであるので、 \begin{equation} F = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{r^2} \end{equation} となる。 中心星の位置ベクトルを$\mathbf{r}_\mathrm{1}$、惑星の位置ベクトルを$\mathbf{r}_\mathrm{2}$とすると、 中心星の運動方程式は以下のものとなる。 \begin{equation} m_\mathrm{1}\frac{d^2\mathbf{r}_\mathrm{1}}{dt^2} = \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{|r^3|}\mathbf{r} \end{equation} また、惑星の運動方程式は、以下のものとなる。 \begin{equation} m_\mathrm{2}\frac{d^2\mathbf{r}_\mathrm{2}}{dt^2} = ー \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{|r^3|}\mathbf{r} \end{equation} ここで相対ベクトル$ \mathbf{r}$ = $\mathbf{r}_\mathrm{2}$ - $\mathbf{r}_\mathrm{1}$を用い、(3)式と(4)式を整理した上で引くと、 \begin{equation} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}= - \frac{G(m_\mathrm{1} + m_\mathrm{2})}{r^3} \mathbf{r} \end{equation} という式が導出される。 \section{成分分解} 成分 x,y に分解する。 1(1) の運動方程式に $\bf{r}$ = (x, y) を代入すると、 \begin{equation} \frac{d^2}{dt^2} (x,y) = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} (x,y) \end{equation} \begin{equation} \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt},\frac{fy}{dt})= - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} (x,y) \end{equation} このとき、指示によると \begin{equation} \mathbf{v} \equiv (v_\mathrm{x},v_\mathrm{y}) = (\frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt}) \end{equation} で定義されているので、以下を代入すると \begin{equation} \frac{d}{dt}(v_\mathrm{x},v_\mathrm{y}) = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} (x,y) \end{equation} となる。ゆえに、 \begin{equation} \frac{dv_\mathrm{x}}{dt} = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} x  ,  \frac{dv_\mathrm{y}}{dt} = - \frac{Gm_\mathrm{1}m_\mathrm{2}}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} y \end{equation} となる。 \end{document}