おまけ1のようにエネルギー保存が成り立たなくなってしまった原因を考える．
全エネルギーは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であり，ポテンシャルエネルギーの項にのみ，万有引力定数がかかっている. しかし，今回のプログラムでは簡単化のために万有引力定数を1としている．そのため，運動エネルギーとポテンシャルエネルギーのスケールの違いが生じてしまい，エネルギーが保存しなかったと考えられる．
そこで，万有引力定数を考慮したプログラムをつくり，おまけ1で調べたパラメータについて，もう一度エネルギーの変化の様子を調べた.
万有引力定数Gを考慮する方法として，プログラムのすべてのパラメータの単位をそろえる方法がある．しかし，今回は精度は落ちるが，プログラム内でGを計算し，そのGを用いてエネルギーを計算する方法を用いた．
時刻1での系の運動エネルギーを K1 ，ポテンシャルエネルギーを U1 とする．このときポテンシャルエネルギーは u1 を用いてU1=Gu1と表せる．同様に時刻2での系の運動エネルギーを K2，ポテンシャルエネルギーを U2 = G u2 とする．系のエネルギーが保存するとき，運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は一定なので K1 + G u1 = K2 + G u2 となる．この式を整理すると G = (K1 - K2) / (u2 - u1)となり，Gが求まる．この方法でGを計算し，エネルギー保存の様子を調べた．
おまけ1と同様にfactor=2,xp(3)=1.5の場合と，factor=5,xp(3)=1.55の場合を調べ，比較した．なお図では横軸にtime，縦軸にエネルギーをとっており，赤が中心星，緑が内側の惑星，青が外側の惑星，紫が系全体の力学的エネルギーを表している．
|  |
| 図8 factor=2,xp(3)=1.5の全エネルギー | 図9 factor=5,xp(3)=1.55の全エネルギー |
おまけ1と同様に軌道にばらつきのあるfactor=5,xp(3)=1.55の方が，個々の天体の力学的エネルギーがばらついていることがわかる．ただし，紫の系全体のエネルギーに注目すると，どちらも一定で保存されている．これより，系の個々の天体が互いにエネルギーを交換しあって，系全体のエネルギーを一定に保っているといえる．
惑星が飛んでしまうfactor=6,xp(3)=1.4とfactor=6,xp(3)=1.55の場合のエネルギーの様子を調べた．
|  |
| 図10 factor=6,xp(3)=1.4の全エネルギー | 図11 factor=6,xp(3)=1.55の全エネルギー |
おまけ1の図5と図11を比べると，外側の惑星が飛びだす時刻と，惑星エネルギーの変動が大きくなる時刻が一致していることがわかる．また，これらの図からGを調節しても，エネルギー保存は正確には成り立っていないことがわかる．これは，Gを二つの時刻でのエネルギーから算出している値なので，その他の時刻では計算の誤差が生じているためと考えられる．また，プロットとプロットの間に急激な運動の変化があった場合にも，計算の誤差が生じると考えられる．
一方，図10に注目すると，エネルギーの誤差が大きくなる時刻の前後で，外側の惑星の力学的エネルギーが増加していることがわかる．このことから，惑星が楕円軌道でなくなるとき，その惑星のエネルギーの状態も変化していることがわかる．
△のfactor=3,xp(3)=1.4，maxtime=700000とした場合のエネルギーの様子を調べた．
|  |
| 図12 factor=3,xp(3)=1.4の全エネルギー | 図13 maxtime=700000，factor=3,xp(3)=1.4の軌道 |
図12より外側の惑星が不安定な楕円軌道を描いているとき，中心星と内側の惑星の力学的エネルギーが変動して，系全体のエネルギーが保存されていることがわかる．また，課題2ではfactor=3,xp(3)=1.4は軌道が閉じていて△としたが，図13より外側の惑星は時間がたつと，他の二つの天体の重力圏から脱出し，timeが700000では×であるということがわかった．したがって，課題2で調べた他のパラメータの計算結果も時間によってかわり，より長い時間で計算すれば表の境界がはっきりする可能性がある．
惑星が他の二つの天体の重力圏から脱出するとき，惑星のエネルギーはどのように変化するかを考えるために，図12の外側の惑星のエネルギーについての拡大図を図14に，エネルギーと運動の様子を考えるために図15にfactor=3,xp(3)=1.4の外側の惑星のx方向の時間変化を示す．
|  |
| 図14 factor=3,xp(3)=1.4の外側の惑星のエネルギー | 図15 factor=3,xp(3)=1.4の外側の惑星のx方向の位置の時間変化 |
図14，図15より，軌道が閉じていないときと同様に，惑星が重力圏から脱出する前に比べ，脱出した後の方が力学的エネルギーが大きくなっている．また，脱出するとき，それまでのエネルギーの極大より大きなエネルギーを得ていることがわかる．このように惑星が重力圏を脱出するとき，他の天体の力学的エネルギーをうけとって脱出する，ということがわかった．
戻る