\documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \title{ITPASS数値計算実習課題1} \author {M Ishii\\ 情報実験機:jouho01} \date{\today} \begin{document} \maketitle \section{中心星と惑星に成り立つ運動方程式} 運動方程式 \begin{equation} M\frac{d^2r}{dt^2}=F \end{equation} である。中心星の位置ベクトルは$\bf{r_1}$、惑星の位置ベクトルは$\bf{r_2}$とおく。\\ 今この系における支配的な力は万有引力のみであるので \begin{equation} \mathbf{F} = - \frac{Gm_1m_2}{r^3}\mathbf{r} \end{equation} (1)と(2)と位置ベクトル、さらに相対ベクトル$\bf{r}$ = $\bf{r_2}$ - $\bf{r_1}$を用いると \begin{equation} {m_1}\frac{d^2r_1}{dt^2} = \frac{Gm_1m_2}{\mid r \mid^3}\mathbf{r} \end{equation} \begin{equation} {m_2}\frac{d^2r_2}{dt^2} = \frac{Gm_1m_2}{\mid r \mid^3}\mathbf{r} \end{equation} (3)の両辺を${m_1}$でわり(3)'とし、(4)の両辺を${m_2}$でわり(4)'とし、(3)'−(4)'すると \begin{equation} \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{r^3}\mathbf{r} \end{equation} よって、求めたい式が導出された。 \section{成分分解} 前問を成分x,yに分解する。\\ (1)の運動方程式に$r$ = ($x$ , $y$)を代入して \begin{equation} \frac{d^2}{dt^2}\left(x , y \right) = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x^2 + y^2 \right)^\frac{3}{2}}\left(x , y \right) \end{equation} \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right) = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x^2 + y^2 \right)^\frac{3}{2}}\left(x , y \right) \end{equation} ここで題意より、\\ \begin{equation*} \vec{v} \equiv (v_x , v_y) = (\frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt}) \end{equation*} なので、 \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(v_x , v_y \right) = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x^2 + y^2 \right)^\frac{3}{2}}\left(x , y \right) \end{equation} よって、求めたい成分は \begin{equation*} \frac{dv_x}{dt} = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x_2 + y_2 \right)^\frac{3}{2}}x , \ \frac{dv_y}{dt} = - \frac{G(m_1 + m_2)}{\left(x_2 + y_2 \right)^\frac{3}{2}}y \\ \end{equation*} となる。 \end{document}